Constructions élémentaires à la « règle et au compas »
Dix constructions au collège avec GéoPlan : médiatrice, bissectrice, perpendiculaire, parallèle…
en : compass and straightedge constructions.
de : Konstruktion mit Zirkel und Lineal.
À l'école les constructions géométriques de figures simples à la règle, à l'équerre et au compas sont au programme du cours moyen.
Il est essentiel de montrer que le compas ne sert pas uniquement à tracer des cercles, mais aussi à reporter des longueurs égales.
Par pliage d'une feuille rabattre un point A sur un point B : appuyer le pli de la feuille qui marque la médiatrice de [AB].
Dessiner la médiatrice d'un segment [AB] avec un compas et une équerre
Ouvrir suffisamment le compas, tracer deux arcs de cercle de même rayon qui se coupent en C. Avec l'équerre, tracer la perpendiculaire à (AB) passant par C.
Dessiner la médiatrice d'un segment [AB] avec la règle et le compas
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Construction d'Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.)
Dessiner le segment [AB],
tracer les cercles de centres A et B et de rayon AB.
Tracer les points C et C’, points d'intersection des deux cercles.
Tracer la médiatrice (CC’) passant par les deux points d'intersection.
Placer un point M libre sur la médiatrice et vérifier l'égalité des longueurs MA = MB.
Effacer les cercles (non dessiné).
Cette construction permet de trouver à la « règle et au compas » le milieu d'un segment.
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 Télécharger la figure GeoLabo mediatrice.glb (Logiciel libre de géométrie dynamique : GeoLabo)
Voir : Généralisation - TP en sixième
MIAM : animation Flash
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Losange de diagonale [AC]
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Placer deux points A et C, tracer un cercle (c) de centre A et de rayon supérieur à AC/2,
et un cercle (c’) de même rayon et de centre C.
Les cercles (c) et (c’) se coupent en B et D. La droite (BD) est la médiatrice du segment [AC].
Tracer le quadrilatère ABCD et montrer que ABCD est un losange.
Marquer le centre O et remarquer les droites parallèles.
Les « anciens Égyptiens » utilisaient cette méthode, par exemple dans la construction des pyramides, pour tracer un angle droit :
prendre une corde, faire un nœud au milieu et fixer les deux extrémités sur deux piquets placés
en A et C. Tendre la corde de part et d'autre de (AC) en la prenant par le nœud et marquer les points B et D, puis le centre O. |
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Application : construction d'une hauteur d'un triangle
Pour construire des droites parallèles ou perpendiculaires à la « règle et au compas », il faut souvent se
ramener à la construction de la médiatrice d'un segment.
Pour trouver, à la « règle et au compas », la hauteur relative au côté [BC] d'un triangle ABC tel que AC > AB, construire un triangle isocèle
ABD où le point D est l'intersection du cercle de centre A passant par B avec la droite (BC).
Avec les cercles de centres B et D passant par A, tracer la médiatrice (AI) de [BD]. I est le deuxième point d'intersection
de ces deux derniers cercles.
La médiatrice (AI) coupe (CD) en H et (AH) est la hauteur cherchée.
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Voir : Cabri en sixième
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GéoPlan permet de tracer une bissectrice à partir d'un angle défini par trois points.
Pour tracer une bissectrice « à la règle et au compas » on se place dans la situation d'un triangle isocèle OAB que l'on complète par un point I tel que le quadrilatère BOAI soit un losange.
Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine. Placer un point A sur un des côtés (d1) de l'angle. Tracer le cercle de centre O passant par A qui coupe la deuxième demi-droite (d2) en B.
Tracer les deux cercles de centre A et B passant par O. Ces deux cercles se recoupent en I.
[OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) :
La diagonale (OI) du losange OABI, est la médiatrice de [AB] car les diagonales du losange se coupent en H milieu de [AB] et sont perpendiculaires.
Dans le triangle isocèle OAB, les angles AÔH et HÔB sont égaux, (OI) est donc la bissectrice, issue de O, de ce triangle.
Voir :construction avec la règle à bords parallèles
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Paragraphe extrait de Cabri sixième
b. Construction par report de mesure
Soit un angle de sommet O formé par deux demi-droites (d1) et (d2) ayant ce point pour origine. Placer deux points A et B sur un des côtés (d1) de l'angle. Reporter les longueurs OA et OB sur la deuxième demi-droite (d2) en en y plaçant les points C et D tels que OC = OA et OD = OB.
Tracer les deux segments [AD] et [BC]. Ces deux segments se recoupent en I.
[OI) est la bissectrice intérieure de l'angle des demi-droites (d1) et (d2) : Les triangles isométriques OAD et OBC sont symétriques par rapport à (OI).
Bibliographie
Rouché Eugène et De Comberousse Charles - traité de géométrie - 1900 - Éditions Jacques Gabay - 1997 - Exercice no 5
Herrera Ruben Rodriguez et Salles - Le Gac Danielle - Du dessin perçu à la figure construite - ellipses - 2005
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Eudème, cité par Proclus, attribuait
à Œnopide de Chios (Ve siècle avant J.-C.), la découverte du problème relatif à la proposition 23 du livre
I d'Euclide : « Sur une droite donnée, et en un point donné sur cette droite, construire un angle égal à un angle donné. » (Histoire des mathématiques - Colette - 1973).
Reproduire un angle d'origine O à partir d'une demi-droite d'origine I :
Soit deux points O, I et un point A,
Soit deux demi-droites [OA) et [OB1) ayant pour origine le point O et une demi-droite [IC1) d'origine I.
Pour reporter l'angle d'origine O, tracer le cercle de centre O passant par A qui coupe la droite (OB1) en B et B2, choisir pour B le point sur le deuxième côté [OB1) de l'angle .
Nommer r la longueur OA et tracer le cercle de centre I et de rayon r.
Nommer C et C2 les intersections de ce cercle avec la droite (IC1), choisir pour C le point sur la demi-droite [IC1).
Nommer d la longueur AB et tracer le cercle de centre C et de rayon d. Nommer D et D1 les intersections des deux derniers cercles. Tracer la demi-droite [ID).
Les angles AÔB et CÎD sont égaux.
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Voir : Cabri-Géomètre en sixième
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Soit une droite (d) et un point M à l'extérieur de (d).
Un cercle de centre M rencontre la droite (d) en A et B. Deux autres cercles de même rayon de centres A et B passent par M et se recoupent en N.
La perpendiculaire est la droite (MN).
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la figure GéoPlan perpendiculaire_abaissee_1.g2w |
Un point A de la droite (d) est le centre d'un cercle passant par M. Il rencontre (d) en B. Le cercle de
centre B passant par M rencontre le premier cercle en N.
La perpendiculaire est la droite (MN).
Remarque : Il est possible de remplacer B par n'importe quel point de (d), distinct de A.
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Configuration : médiane d'un triangle isocèle.
Dans la figure de gauche ci-dessus, AMB est un triangle isocèle : la hauteur (AH) est aussi la médiane. Il est donc aussi possible de tracer les milieux A’ de [MB] et B’ de [MA]. Les deux médianes [AA’] et [BB’] se coupent au centre de gravité G. La troisième médiane (AG) est la perpendiculaire cherchée.
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Tracé d'une médiatrice
Soit une droite (d) et un point A sur (d).
Un cercle de centre A rencontre (d) en B et C.
Tracer la médiatrice de [BC] grâce aux cercles de centre A passant par B et de centre B passant par A. Ces deux cercles se coupent en M et N.
La perpendiculaire est la droite (MN).
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la figure GéoPlan perpendiculaire_elevee_1.g2w
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Tracé d'un cercle
Soit une droite (d) et un point A sur (d).
À partir d'un point O hors de (d), tracer un cercle de centre O passant par A. Si O n'est pas sur la perpendiculaire, il recoupe (d) en un deuxième point B. Tracer la droite (OB) qui recoupe le cercle en M.
Le point M, symétrique de B par rapport à O, est diamétralement opposé à B.
La droite (AM) est perpendiculaire à (d).
Explications : Le triangle BAM, inscrit dans un demi-cercle, est rectangle en A.
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Traçage d'une perpendiculaire en bout
Tracer un cercle de centre A qui rencontre (d) en B, puis avec le même rayon, un cercle de centre B passant par A, qui rencontre le premier cercle en O.
Tracer le point M, symétrique de B par rapport à O.
La perpendiculaire à (d) est (AM).
Explications : toujours avec le même rayon AO, tracer un troisième cercle de centre O passant par A et B, le deuxième point d'intersection de ce dernier cercle et de la droite (BO) est le point M.
Le triangle BAM inscrit dans un demi-cercle est rectangle en A.
Autre point de vue : perpendiculaire abaissé et droite des milieux
À partir d'un point O hors de (d), avec un cercle de centre O passant par A, on retrouve alors le tracé de la perpendiculaire (OH) abaissée d'un point O.
Tracer le point M, symétrique de B par rapport à O.
Le théorème des milieux permet de justifier la construction : dans le triangle ABM, (OH) est la droite des milieux : (AM) est parallèle à (OH).
(OH) est perpendiculaire à (d), donc (AM) est perpendiculaire à (d).
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Proposition 31 du livre I des éléments d'Euclide : par un point donné, construire une ligne parallèle à une droite donnée.
L'unicité se déduit du postulat 5 : si une droite, tombant sur deux droites, fait les angles intérieurs d'un même côté plus petits que deux droits, ces droites, prolongées à l'infini, se rencontreront du côté où les angles sont plus petits que deux droits.
Ce postulat est par la suite plus souvent énoncé sous la forme : « Par un point il passe une et une seule parallèle à une droite donnée ».
Construction au compas de la parallèle à une droite (d) passant par un point M
a. Construction de deux cercles
Soit une droite (d) et un point M.
Placer deux points A et O sur la droite (d).
Tracer le cercle de centre O de rayon AM et le cercle de centre M et de rayon AO.
Soit P un des points d'intersection des deux cercles convenablement choisis.
Le quadrilatère AMPO a ses opposés égaux deux à deux. C'est un parallélogramme.
La droite (MP) est la parallèle à (d) cherchée.
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b. Angles alternes-internes
Soit une droite (d), un point A sur (d) et un point M.
La droite (d) et la parallèle (d’) à (d) passant par un point M doivent faire avec une sécante (AM) des angles alternes-internes BMA et MAP égaux entre eux.
Pour cela :
Tracer le cercle (c1) de centre M passant par le point A de la droite (d), puis le cercle (c2) de centre A passant par M. Le cercle (c2) coupe la droite (d) en B.
Pour reporter l'angle BMA en A, reporter l'arc MB de (c2) sur le cercle (c1). Tracer le cercle (c3) de centre A et de rayon BM. Choisir pour P, le point d'intersection des cercles (c1) et (c3) situé du même côté que A par rapport à (d).
La droite (MP) est la parallèle cherchée.
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c. Droite des milieux
Classe de quatrième
À partir de deux points sur (d)
Accompagnement du programme de 3e - 2004
Placer deux points A et B sur la droite (d).
Sur la droite (AM), placer le symétrique O de M par rapport à A tel que AO = AM,
Sur la droite (OB), placer le symétrique P de O par rapport à B tel que BP = BO.
La droite (MP) est la parallèle à (d) cherchée.
En effet, (AB) est la droite des milieux du triangle OMP : (MP) est parallèle à (AB).
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Voir aussi : géométrie en troisième |
À partir de trois points sur (d)
Placer deux points A et B sur la droite (d). Tracer le symétrique C de A par rapport à B. B est alors le milieu de [AC].
Sur la droite (AM), placer le symétrique O de A par rapport à M tel que MO = AM,
Sur la segment [CO], placer le milieu P. Cette construction se fait au compas en reportant la longueur BM sur [CO].
La droite (MP) est la parallèle à (d) cherchée.
En effet, (BM) et (MP) sont les droites des milieux du triangle OAC.
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d. Deux médiatrices
Soit une droite (d), un point A sur (d) et un point M.
Il est possible d'utiliser deux fois la construction de la médiatrice pour tracer la perpendiculaire (MC) à (d) passant par le point M, puis d'élever en M la perpendiculaire à cette droite (MC).
Pour cela :
Un cercle (c1) de centre M passant par un point A de la droite (d) recoupe cette droite en B.
Les cercles de centre A et B passant par M se recoupent en C. La droite (MC), médiatrice de [AB], est perpendiculaire à (d).
Le cercle (c1) coupe (MC) en D et E. Les cercles de centre D passant par E et de centre E passant par D se coupent en N et P.
La droite (NP), médiatrice de [DE], est la parallèle à (d) passant par M.
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e. Construction avec deux ou trois cercles
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Construire un trapèze isocèle AMPB
Soit une droite (d), un point O sur (d) et un point M.
Le cercle (c) de centre O passant par M coupe la droite (d) en A et B. Mesurer avec le compas la longueur AM et tracer le
cercle de centre B et de rayon AM. Ce dernier cercle rencontre (c) en P situé dans le même demi-plan que le point M par rapport à (d).
La droite (MP) est parallèle à (d).
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Construire un losange AMPB
Soit une droite (d), un point A sur (d) et un point M.
Tracer trois cercles de même rayon AM.
Un premier cercle (c1) de centre M, passant par un point A de (d).
Le deuxième de centre A, passant par M, rencontre (d) en B situé à l'extérieur de (c1).
Le troisième de centre B, passant par A, recoupe le premier en P.
La droite (MP) est parallèle à (d).
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f. Construction avec deux cercles tangents
Soit une droite (d), un point A sur (d) et un point M.
Utiliser la configuration des cordes de cercles tangents :
Placer un point A sur la droite (d) et un point T sur le segment [AM].
Tracer deux cercles tangents en T passant par A pour l'un, par M pour l'autre.
Pour cela, placer un point O sur la médiatrice de [TM] et tracer le cercle (c) de centre O passant par M et T.
La droite (OT) coupe la médiatrice de [AT] en O’. Le cercle (c’) de centre O’ passant par T et A est tangent en T au cercle (c).
Ce cercle recoupe la droite (d) en B.
La droite (BT) recoupe le cercle (c) en P.
La droite (MP) est la parallèle à (d) passant par M.
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À partir d'un point A de la droite
(D), tracer un cercle (c) de rayon d. Ce cercle coupe la droite en B et C.
Utiliser la méthode du paragraphe 5 pour construire la médiatrice de [BC] grâce aux cercles de centre B passant par C et de centre C passant par B. Ces deux cercles se coupent en M et N. La droite (MN) est perpendiculaire en A à (D).
Le cercle (c) coupe (MN) au point D situé à une distance d de A.
Les cercles de rayon d, passant par A, centrés en B et en D se coupent en E.
La droite (DE) est parallèle à la droite (D) et située à la distance d.
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Classes de quatrième et troisième
Cet exercice repose sur la propriété de Thalès, mais peut être utilisé avant de l'avoir justifiée.
Pour partager un segment [AB] en n parties égales, tracer sur demi-droite issue de A, n segments égaux [AC1], [C1C2], …, [Cn-1B’].
Tracer le segment [BB’] et les parallèles à (BB’) passant par C1, C2,…, Cn-1.
Elles découpent [AB] en n parties égales.
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Méthode de la règle à bords parallèles : partage d'un segment en parties égales
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Construction d'une des parallèles à la « règle et au compas »
![Point situé au 2 n ième de [AB]](regle_compas/diviser_segment_car.gif)
Pour trouver avec précision une des divisions sur le segment, par exemple ici le point D2, utiliser la construction suivante :
Placer, comme ci-contre, n points sur [AB’].
Placer deux points M et N sur [BB’] tel que BM = MN.
Tracer le symétrique P de B par rapport à C2, puis le milieu I de [PN].
La droite (IC2) coupe (AB) en D2 situé aux 2 nième de [AB].
On montre facilement que (C2D2) est parallèle à (BB’) comme droite des milieux du triangle BPN.
Extrait de : Salles-Le Gac Danielle et Herrera Ruben Rodriguez
Nouvelles pratiques de la géométrie - IREM Caen - 2008
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Tracé de médianes
Classe de première L
Partage en trois s'appuyant sur la propriété du centre de gravité.
Partager un segment [AB] en trois.
Placer un point I à l'extérieur de (AB).
Sur la droite (BI) reporter la longueur BI et placer le point C tel que IC = BI.
Sur la droite (CA) reporter la longueur CA et placer le point D tel que AD = CA.
La droite (DI) coupe (AB) en G. Le point G est au tiers de [AB].
En reportant la longueur AG sur (AB), on trouve le point J milieu de [GB].
Le point J est au  de [AB] à partir de A.
En effet, G, point d'intersection des médianes, est le centre de gravité de BCD.
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Tracé de parallèles dans un rectangle
Partager un segment [AB] en trois.
Il est aussi possible de faire cette construction qui sera justifiée par Thalès en quatrième :
Sur la perpendiculaire en B à (AB) placer un point C, puis terminer le rectangle ABCD.
Tracer le milieu M de [AD] et le symétrique N de M par rapport à D.
Les parallèles à (BN) passant par M et D coupent (AB) en I et J qui sont les points cherchés.
Télécharger la figure GéoPlan cons_rect_perpendiculaires.g2w
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Application : Cabri en sixième
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Partage de la diagonale d'un parallélogramme
Les Éléments d'Euclide, livre III
Dans un parallélogramme, les segments, joignant deux sommets opposés aux milieux des côtés opposés, sont parallèles et partagent la diagonale joignant les deux autres sommets en trois parties égales.
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Télécharger la figure Cabri mul_parallelogramme_milieu.fig
Télécharger la figure GeoLabo mul_parralelogramme_milieu.glb
Voir : parallélogramme au collège |
Partage du côté d'un parallélogramme
On considère un parallélogramme ABCD. K est le milieu de [AD], L le milieu de [BC].
Les diagonales du parallélogramme ABLK se coupent en G.
Les droites (CG) et (DG) déterminent sur le côté [AB] deux points I et J qui le partagent en trois parties égales.
Télécharger la figure GéoPlan bary_f19.g2w
Voir alignement et concours en 1S : barycentre
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Voir aussi : pliage d'une feuille en trois parties égales : constructions par pliages
Partage d'un segment en parties égales : règle à bords parallèles
Bâtisseurs de cathédrales : partage du demi-cercle en trois, en cinq…
e visite des pages « collège ».
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