Les grands problèmes de la géométrie grecque

Nombres constructibles, quadrature, duplication, trisection, polygones réguliers.

1. Points et nombres constructibles

Point constructible

Définition : un point est constructible à partir d'un ensemble E si je peux le construire d'une façon précise à partir de E, à la règle non graduée et au compas.
Plus précisément l'ensemble E₁ des éléments constructibles, en une étape, à partir d'un ensemble E est formé par :
  • les points de E,
  • les points d'intersection des droites distinctes passant par deux points distincts de E,
  • les points d'intersection des cercles distincts de centre un point de E, passant par un autre point de E,
  • les points d'intersection des droites et des cercles définis ci-dessus.

De même, E₂ est l'ensemble des éléments constructibles en une étape à partir de E₁, E₃ à partir de E₂, et ainsi de suite.

Définition : un point M est constructible à partir de E, s'il existe un i tel que M appartienne à E_i (on peut construire M en i étapes).

Définition : on appelle point constructible du plan (euclidien), tout point constructible à partir de E = {O, I} où OI =1.

Application : montrons que le point J(0, 1) est constructible avec la construction de la médiatrice d'Œnopide de Chios (V^e siècle avant J.-C.) :

E₁ contient le point I’, intersection de la droite (OI) et du cercle de centre O passant par I.

E₂ contient les points A et A’, intersections du cercle de centre I passant par I’ et du cercle de centre I’ passant par I.

La médiatrice (AA’) de [II’] coupe le cercle de centre O passant par I en J et J’, points de E₃.

(O ; I ; J) est un repère orthonormé du plan euclidien.

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Définition : on appelle nombre constructible toute coordonnée dans le repère (O ; I ; J) d'un point constructible.

Propriété : un point M(a, b) est constructible si et seulement si a et b sont des nombres constructibles.

Propriétés

Si A et B sont deux points constructibles, alors la distance AB est un nombre constructible.

Indications :

Le point C troisième point du parallélogramme OABC est constructible.

Le point D est constructible avec OD = OC = AB = d.

Le nombre d, abscisse d'un point constructible, est constructible.

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Le produit de deux nombres constructibles est constructible.

Voir : théorème de Thalès dans la géométrie de Descartes

L'inverse d'un nombre constructible non nul est constructible.

Le point A a pour abscisse a non nulle.

M est un point du cercle non situé sur Ox.

La parallèle à (AM) menée par I coupe (OM) en B.

Le point B est constructible et sur la droite repérée (O, M) a pour abscisse 1/a.

1/a est un nombre constructible.

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Le quotient d'un nombre constructible par un nombre constructible non nul est constructible.

Voir : Nombre rationnel a/b dans la page construction de réels en seconde.

La racine carrée d'un nombre constructible positif est constructible.

Voir : construction d'Euclide reprise par Descartes dans construction de réels en seconde.

Rappel : Un nombre est algébrique sur un corps K s'il existe un polynôme non nul, à coefficient dans K, s'annulant sur ce nombre.

Sur Q un nombre algébrique est solution d'une équation à coefficients entiers.

Pierre-Laurent Wantzel, mathématicien français, a montré en 1837 qu'un nombre constructible est algébrique sur Q et son degré est une puissance de 2.
La réciproque est très utile pour montrer qu'un nombre n'est pas constructible.

2. Quadrature du cercle

La quadrature du cercle : tracer à la « règle et au compas » un carré de même aire qu'un cercle donné.

Ce problème n'est pas résoluble, car π n'est pas constructible.

Voir quadratrice.

Calcul de π dans l'ancienne Égypte

Le papyrus mathématique égyptien le mieux conservé est le papyrus Rhind, écrit par le scribe Ahmés vers 1650 avant J.-C. ; Rhind est le nom du premier propriétaire Écossais qui l'acheta à Louxor en 1857. Parmi quatre-vingt-sept problèmes, accompagnés de leurs solutions, on  trouve la règle suivante pour la quadrature du cercle :
pour « construire un carré équivalant à un cercle… retirer au diamètre et construire le carré sur ce qui reste ».

Justifications

L'aire du disque de diamètre 1 est .

Cette aire du disque est voisine de celle de l'octogone ABCDEFGH.
Son aire, composée de cinq carrés et quatre demi-carrés, est égale à 7 carrés soit 7 ×  = .

Ce nombre est voisin du carré , aire du carré de côté : (1 − )² = .

Les Égyptiens utilisaient donc pour π la valeur de 4 × (1 − )² = ≈ 3,16, avec une incertitude relative de pour le calcul de π.

Télécharger les figures GéoPlan pi_rhind.g2w ou pi_rhind_2.g2w
Calcul de π : ti-92

Lunules d'Hippocrate

Définition : une lunule est une portion de surface délimitée par deux cercles non concentriques de rayons différents, formant un croissant de lune en forme de ménisque : convexe d’un côté et concave de l’autre.

Les quatre lunules

Au V^e siècle avant J.-C. Hippocrate de Chios est le premier à s'être intéressé aux quadratures.

Il n'a pas réussi pour le cercle, mais il prouva la « quadrature » des lunules.

Les quatre lunules hachurées en bleu sont les surfaces comprises entre le cercle de rayon r circonscrit au carré ABCD et les demi-cercles ayant pour diamètre d les côtés du carré :

l'aire du carré ABCD est égale à la somme des quatre aires des lunules.

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Quadrature de la parabole par Archimède : analyse en 1L
Théorème de Pythagore
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3. Duplication du carré et du cube

Duplication du carré : tracer à la « règle et au compas » un carré d'aire double d'un carré donné.

Retrouver ces paragraphes dans : carré au collège

Problème pythagoricien du V^e siècle avant J.-C. : trouver un triangle rectangle isocèle « calculable » avec les quatre opérations des entiers.
Cela revient à trouver deux nombres naturels x et y, non nuls, tels que 2x² = y².

Étudier les solutions possibles selon la parité de x et y.
Si x pair et y pair en divisant les deux nombres par 2, éventuellement plusieurs fois, on obtiendrait un nombre impair, si le problème avait une solution (x, y), un des deux nombres serait impair.
Une solution dans laquelle le nombre y est impair est impossible : en effet si y est impair, alors y² est impair et ne peut être égal au nombre pair 2x².

Reste le cas où x est impair et y pair. Dans ce cas la moitié de 2x² est impaire, alors que celle de y² est paire : ces deux nombres ne peuvent pas être égaux.

Il n'existe donc pas de naturels (ni de rationnels) tels que 2x² = y². Le rapport entre le côté et la diagonale du carré est irrationnel. Cette découverte sera alors vécue comme une catastrophe plus qu'une incitation à aller plus loin. Cela justifiera le passage du calcul au raisonnement qui sera l'acte de naissance des mathématiques au V^e siècle.

On aurait pu penser que les Grecs, mathématiciens et philosophes découvrant la méthode axiomatique, auraient cherché à comprendre comment articuler ces nouvelles mathématiques avec les calculs plus anciens des Mésapotamiens et des Égyptiens. Au contraire, ils ont fait table rase du passé et abandonné le calcul pour le raisonnement.

Le calcul ne fut pas pour autant complément abandonné. Voir par exemple l'algorithme d'Euclide pour le calcul du PGCD ou les mathématiques du moyen-âge.
Mais il faudra attendre le XVII^e siècle, avec Descartes et la notion de coordonnées, pour faire la synthèse entre l'algèbre et la géométrie.

D'après Dowek Gilles - Les métamorphoses du calcul - Le pommier 2007

Duplication du cube : problème de Délos (problème déliaque) posé par les sophistes grecs au VI^e siècle avant J.-C.
Construire un autel cubique, à la gloire d'Apollon, de volume deux fois plus grand que celui déjà présent dans le temple.

La duplication du cube n'est pas possible, car , solution de l'équation x³ = 2, n'est pas un nombre constructible.

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4. Trisection de l'angle

Partager un angle quelconque en trois angles égaux.

Trouver la trisection d'un angle θ il faut trouver x tel que 3x = θ. On a : cos 3x = 4 cos³x − 3 cos x.
cos x = X est donc solution de l'équation cos θ = 4 X³ − 3 X.

La trisection revient à savoir si les solutions de cette équation sont constructibles.

D'après Wantzel, pour que la trisection soit possible, l'équation 4 X³ − 3 X − cos θ = 0 doit être réductible au second degré dans Q.
Par exemple, la trisection d'un angle de mesure θ = n'est pas possible :

cos(), solution de l'équation irréductible dans Q[X] : 4 X³ − 3 X − = 0, est algébrique sur Q de degré 3.

Ce qui montre, du même coup, l'impossibilité de construire à la « règle et au compas » l'ennéagone régulier (9 côtés), résultat prouvé en 1801 par Gauss.

La quadratrice de Dinostrate

Hippias d'Élis, philosophe sophiste grec, contemporain de Socrate né vers 460 avant J.-C., cherchant à résoudre le problème de la trisection de l'angle, inventa une courbe trisectrice permettant une solution approchée. Le problème étant insoluble, la courbe permet de trouver des solutions approchées.
La trisectrice est appelée plutôt la quadratrice de Dinostrate, car ce dernier l'utilisa pour résoudre la quadrature du cercle.

Le point K se déplace uniformément sur le segment [BC], son ordonnée est y avec 0 ≤ y ≤ 1,
le point E se déplace uniformément sur le quart de cercle BD, l'angle BÔE mesure 90y degrés, soit θ = y radians.
La droite horizontale (JK) coupe la droite (OE) en Q. La courbe décrite par Q est la quadratrice de Dionostrate.

Soit OK’ = OK/3 et OJ’ = OJ/3 correspondant à y/3. La droite horizontale (J’K’) coupe la quadratrice en Q’. La droite (OQ’) est alors une trisectrice de l'angle BÔE.

Quadrature du cercle

Dans le triangle OJQ rectangle en J, d'angle aigu OQJ = BOE = θ, on a y = OJ = OQ sin θ.
Avec OQ = ρ, comme θ = y, on a θ = ρ sin θ. L'équation polaire de la quadratrice est ρ = .

Le point B’ d'intersection de la quadratrice avec [OB] a pour abscisse . Ce point, non constructible, est obtenu avec une approximation théorique aussi grande que l'on veut.

Viète (1540-1603) calculera le premier produit infini des mathématiques :

Conchoïde de droite

D'après MathCurve

Avec la conchoïde, Nicomède, mathématicien grec du II^e siècle avant J.-C., fut le premier a réaliser une construction mécanique d'une courbe plane (autre que le cercle).

Étant donné une directrice (d), un pôle O non situé sur (d), et un module b,
à partir d'un point P de la directrice, on construit les deux points N et Q de la droite (OP) situés à une distance b de P tels que :
PN = PQ = b.
La conchoïde est le lieu géométrique des points N et Q lorsque P parcourt (d).

C'est la courbe d'équation polaire ρ = + b, où a est la distance du pôle à la directrice (a = OH).

Les conchoïdes de Nicomède sont des trisectrices :

Pour cela, construire un triangle OHI rectangle en H, tel que l'angle φ à trisecter soit OÎH.

Construire la conchoïde de la droite (IH) de pôle O et de module b = OI = , où a = OH.
Pour un angle φ, la conchoïde a pour équation ρ = + .
À chaque angle à trisecter, correspond une conchoïde différente.

L'intersection de la courbe avec le cercle de centre I passant par O permet de déterminer deux points M et N, et grâce aux propriétés fondamentales de la conchoïde, on montre que l'angle NÎP trisecte l'angle OÎH.

Pour le point I, situé sur la directrice, les deux points de la conchoïde situés sur la droite (OI), à une distance b de I sont le point O et un point M symétrique de O par rapport à I.
Le cercle de centre I et de rayon OI passe par le pôle O, coupe la conchoïde en M.
Ce cercle coupe la conchoïde en un troisième point N dont la construction est approchée : la droite (ON) coupe la directrice en P tel que NP = b.

On retrouve la configuration de Viète, deux triangles isocèles de côtés égaux à b, d'angles α et 2α :

L'angle trisecté est OPH, car le triangle INP est isocèle avec OPH = NIP = α ;
les angles aigus du triangle isocèle ION sont égaux à 2α ;
Les angles alternes-internes yOP et OPH sont égaux à α ;
Les angles alternes-internes yOI et OIH sont égaux à 3α et φ = 3α.

L'angle NÎP est le tiers de l'angle OÎH.

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Article exporté dans Wikipédia : conchoïde

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Hyperbole de Chasles

Méthode de Viète

De la classe de quatrième à la classe de seconde

Méthode d'Archimède

Sur un cercle de centre O, on place deux points A et B tels que l'angle AÔB soit égal à 3α.

Soit C le point diamétralement opposé à A.

Placer sur le cercle le point D tel que la droite (BD) coupe (AC) en E de telle sorte que ED est égal au rayon du cercle.

Montrer que l'angle AEB est égal au tiers de l'angle AÔB : AEB = α.

Remarque : Le point E n'étant pas constructible à la « règle et au compas », GéoPlan ne peut le placer géométriquement.
Avec GéoPlan, on déplacera le point D avec la souris ou les flèches du clavier pour obtenir un point E sur (AC) : abscisse 0 lorsque (AC) est horizontale.
N'étant pas à une contradiction près, en supposant le problème résolu, taper S pour placer le point D exactement dans la figure.

Remarque didactique : certains collègues sont contre le fait d’admettre que les élèves, qui déplacent un point sur l’écran, puissent obtenir un résultat avec pour seul moyen de contrôle la perception visuelle. Heureusement avec GéoPlan, l'affection directe d'un point libre permet d'obtenir une justification analytique (Dans mes exemples, j'utilise alors la touche S comme commande).

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Un conflit sociocognitif en didactique à propos de différentes médiations sémiotiques dans l’enseignement de la géométrie :

Depuis les journées de rentrée 2008 de l'IREM de Basse-Normandie, nous avons eu l’opportunité de présenter la séquence et les propos de la discussion précédente à d’autres collègues.

Au cours des journées de l’INRP de Lyon qui avaient pour sujet « redonner du sens aux mathématiques enseignées dans le secondaire », nous avons échangé nos points de vue sur le sujet avec l’inspecteur de mathématiques et avec quelques collègues chercheurs en didactique. Ceux-ci nous ont indiqué qu’à leur avis, cette utilisation didactique des logiciels, où les élèves du collège utilisent une configuration de base qui se conserve, était tout à fait dans l’esprit pédagogique des TICE dans l’enseignement à ce niveau de la quatrième.

Dans notre IUFM de Basse-Normandie notre collègue formateur Olivier Frémont qui est à l’origine des nombreux ressources TICE pour l’enseignement des mathématiques estime que, sûrement, la non acceptation au niveau de la quatrième de la démarche des élèves est due a une méconnaissance de cette exploitation pédagogique du logiciel. Dans une partie de la procédure, les élèves utilisent l’invariance d’une configuration, et même si le fait qu’un point soit superposé à un autre est justifié seulement par la perception visuelle, ceci n’est pas très grave dans ce niveau du collège.

Dr. Ruben Rodriguez Herrera

Méthode de Pappus

Créer la droite (d) parallèle à (OB) passant par B et la droite (d’) perpendiculaire à (OA) passant par B, puis le point d’intersection H des 2 droites.
Créer un point libre P sur la droite (d), puis la droite (OP).
Le cercle de centre P et de rayon 2OC coupe le segment [OP]  en M.
Créer le point N milieu de [PM], puis le segment [BN].
Déplacer le point P pour que M soit sur (d’).

Les triangles OHM et MBP sont semblables et AOM = BPM.
Si M est sur (d’), les points P, M et B sont sur un même cercle de centre N et de rayon OB. L'angle BNM = 2BPM.
Le triangle ONB est isocèle et l’angle en MOB = BNM = 2BPM = 2 AOP, d'où AOB = 3 AOM.

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Pliage d'une feuille

Classe de seconde

Extrait de Wikipédia : Trisection de l'angle

La trisection de l'angle est réalisable, en pliant une feuille de papier, par une construction due à Hisashi Abe (1980), qu'illustre la figure ci-contre :

On trace l'angle AOB à couper en trois en plaçant le sommet O au coin de la feuille de sorte le bord inférieur soit un des côtés de l'angle.

Deux bandes horizontales, de même largeur (arbitraire), sont tracées en bas de la feuille (ceci peut se faire facilement par pliage). On appelle (d) et (d’) les nouvelles droites qui les délimitent.

Il faut maintenant plier la feuille le long d'un pli (m) de sorte que le coin O se trouve déplacé sur la droite (d’) (en un point O’), en même temps que le point C (intersection du bord gauche avec la droite d) se trouve déplacé sur la droite (OB) en un point C’.

La demi-droite, d'origine O, passant par O’ est alors une trisectrice de l'angle donné : l'angle AOO’ vaut de l'angle AOB.

le point D (intersection du bord gauche avec la droite d’) se trouve déplacé sur la droite (JO’) en un point D’. La demi-droite, d'origine O, passant par D ’ est l'autre trisectrice.

Remarque

Cet exercice montre que les tracés réalisés par pliage, en n'utilisant que des symétries axiales, peuvent aboutir à des figures non constructibles à la « règle et au compas ».

Indications

Trisectrice (OO’)

Si α = AOO’, comme angles alternes-internes α est l'angle de (d’) et (OO’),
par symétrie par rapport à (d’), l'angle de (d’) et (OO’) est égal à l'angle de (d’) et (CO’), angles égaux à α.

Les droites (OC’) et (O’C), symétriques par rapport à la droite (m) se coupent en I situé sur l'axe de symétrie. Le triangle IOO’, ayant (m) comme axe de symétrie, est isocèle et O’OI = IO’O = 2α.

AOB est bien égal à 3α, (OO’) est une trisectrice.

Trisectrice (OD’)

La symétrie d'axe (m) transforme les points équidistants O, D, C en O’, D’, C’. Le point D’ est donc le milieu de O’C’. La droite (OD’) est la médiane du triangle OO’C’.
Cette symétrie d'axe (m) transforme l'angle droit ODO’ en O’D’O. (OD’), perpendiculaire à (O’D’), est une hauteur du triangle OO’C’.

(OD’), médiane et hauteur du triangle OO’C’, est une médiatrice. OO’C’ est un triangle isocèle et (OD’) en est une bissectrice.
Comme vu ci-dessus O’OC’ = 2α, on a donc AOO’ = O’OD’ = D’OB = α. On a bien le partage de AOB en trois angles égaux.

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Trisection d'un angle droit !

Construction au compas seul.

Le tracé de trois cercles de même rayon permet de trouver les trisectrices (OC) et (OD) de l'angle droit AÔB.

Le double ou la moitié d'un angle trisectable est trisectable :
(OE) est la bissectrice de AÔB. AÔE est un angle de , (OC) est une des trisectrices de cet angle,
l'autre trisectrice est la bissectrice de AÔC.

On peut continuer avec la bissectrice de AÔE pour trouver, avec le compas, les trisectrices d'un angle de ,
et ainsi de suite les angles de la forme sont trisectables.
cos et sin sont donc constructibles. Voir calculs : angles trigonométrie

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Trisection d'un angle droit à la « règle et au compas », voir : parallélogrammes
Bâtisseurs de cathédrales : trisection du demi-cercle
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5. Polygones réguliers

Savoir construire un polygone régulier, à n côtés, c’est savoir construire le point de coordonnées (cos, sin ).
Ayant ainsi construit un côté de ce polygone, il suffit de reporter de proche en proche sa longueur sur le cercle unité.

Les éléments d'Euclide donnent les constructions des polygones réguliers de 3, 4, 5, 6 et 15 côtés.

Ils expliquent comment, grâce à la construction des bissectrices, doubler le nombre de côtés d'un polygone.

Théorème de Gauss : Soit n et m deux entiers naturels premiers entre eux. Le polygone régulier à nm côtés est constructible à la « règle et au compas » si et seulement si les polygones à n côtés et à m côtés sont constructibles.

En effet, le théorème de Bezout permet de dire que si m et n sont premiers entre eux, il existe deux entiers relatifs u et v tels que um + vn = 1.
Multipliant cette expression par , il vient : u + v = .

On obtient l’angle , sur le cercle unité, en reportant u fois l’angle et v fois l’angle , angles que l'on sait construire.

Exemple - construction du polygone régulier à 15 côtés :
Comme on sait construire le triangle équilatéral et le pentagone régulier, 3 et 5 étant premiers entre eux, en multipliant par la relation de Bezout 2 × 3 − 5 = 1,
on obtient l'égalité 2 − = .
Sur un cercle, à partir d'un point A, on place un point G tel que (, ) = , le point B tel que (, ) = − est le deuxième sommet du polygone régulier de côté AB.

Il faudra attendre 1796 pour que Gauss démontre que le polygone de 17 côtés était aussi constructible à la « règle et au compas ».

Polygones constructibles

Un polygone régulier de n côtés est constructible si cos est un nombre constructible. n est alors une puissance de 2, un nombre premier de Fermat de la forme 1 + 2^(2k), un produit de nombres de Fermat ou un produit d'une puissance de 2 par des nombres de Fermat.

Pour n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20… les polygones à n côtés sont constructibles. Pour n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19… ils ne le sont pas.

Voir : construction du triangle équilatéral
    pentagone régulier :
        constructions exactes
        constructions approchées
     dessiner un hexagone
     solides de Platon

Bibliographie : Carrega J.-C. - Théorie des corps : la règle et le compas - Hermann 2001
Nombres constructibles - Edmond Jung - Bulletin AMEP n^o 458 - juin 2005

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