MATH'ART
 

  lorsque Maths et Art font bon ménage

introduction

Les courbes étudiées dans les pages qui suivent ont été d'abord retenues pour leur esthétique .

Il s'agit pour bon nombre d'entre elles de courbes "fondamentales" ou de base étudiées par de célèbres Mathématiciens ( Descartes , Newton , Bernouilli , Pascal , Archimède , Galilée ...) pour ne citer que les plus connus  qui ne diposaient à l'époque d'aucun outil informatique ...

Ces courbes ont été effectuées à l'aide d'un langage de programmation simple : le qbasic .

Pour la plupart , les programmes sont simples : quelques lignes et instructions seulement suffisent . On trouvera en annexe quelques exemples de ces programmes .
 
 

mes sources

Plusieurs ouvrages m'ont permis la réalisation d'une partie de ce document  .

Pour les courbes elles-mêmes :

• Graphisme Scientifique sur micro de R. Dony , éditions Masson
• Courbes Mathématiques , n°spécial 8 de la revue du Palais de la Découverte
• Curve Stitching de John Millinton ,Tarquin Publications , trouvé au London Art Museum .

QUELQUES GRANDES CLASSIQUES
 
 
 

courbe d'équation paramétrique avec :  x = r*cos(t)^3 y = r*sin(t)^3 t variant de -pi à + pi , pas de pi/100

courbe d'équation polaire où :  x = r*cos(t) y = r*sin(t) t varie de -pi à +pi , pas de pi/100 r = a*(1+cos(t))

courbe d'équation paramétrique avec :  x = r*(2cos(t) + cos(t)) y = r*(2sin(t) - sin(2t)

pour des valeurs assez singulières de m , on obtient des courbes d'aspect assez caractéristique.
 
 
 
 

m = 2 ^0.5	m = 1/k*2^0.5 et k = 1.75
variante colorée	m = 3^0.5/3

courbe de coordonnées :  y = k*exp(-0.2*x^2¨) avec k variant de -1 à +1 , pas de 0.1

courbe de coordonnées :  x = a*sin(mt) y = b*sin(nt) avec ici : m=3^0.5/3 , n = 2^0.5/2

courbe d'équation de type :  x =a*sin(mt) y = b*sin(nt) avec ici : a variant de 1 à 5 , b = -3

• x = (r1+r2)*cos(t) -r2*cos((r1+r2)/r2*t)
• y = (r1+r2)*sin(t) - r2*sin((r1+r2)/r2*t)

hypocycloïdes	epicycloïdes
r1 = 10 , r2 = 4	r1 = 10 , r2 = -4
r1 =  10 , r2 = 3.5	r1 = 10 , r2 = -3.5
r1 = 10 , r2 = 1	r1 = 10 , r2 = -1

QUELQUES AUTRES
 

de la toupie ...

• x(n+1) = x(n) + k^n-cos(n*t)
• y(n+1) = y(n) + k^n*sin(n*t)

k = 0.95 , t = 144°	k = 1 , t = 128°
k = 0.95 , t = 93°	k = 0.95 , t = 118°

• x = r*cos(t)
• y = r*sin(t)
• avec r = cos(m*t) + n

m = 7/2 , n = 0	m = 7/4 , n = 0
m = 7/10 , n = 7/3	m = 5/2 , n =3

les courbes bolygonisées et les courbes rayonnées sont de nature différente :

    cas de courbes rayonnées :

il s'agit de courbes (x,y) où l'on joint les différents points de coordonnées (x,y) au "centre" de la corbe , c'est à dire au point de coordonnée (x0,y0)

    cas des courbes bolygonisées :

• x(n) = r*cos(t) , y(n) = r*sin(t)
• x(n+1) = r*cos(k*t) , y(n+1) = r*sin(k*t)
• t variant de -pi à + pi , pas de pi/100

exemple de courbe de base	exemple de courbe de base
variante rayonnée	variante bolygonisée

 dans un souci de clarté  , la courbe de base a été superposée à celles des variantes .
 
 
autres exemples :
 
 

• x = a*(3*sin(t) - sin(3t))
• y = a*(3*cos(t)-cos(3t))
• t varie de -pi à +pi , pas de pi*1000

courbe de base	variante bolygonisée avec k = 3

COURBES POLAIRES BOLYGONISEES

comme il a été dit , il s'agit de courbes d'équation de type :

• x(n) = r*cos(t) , y(n) = r*sin(t)
• x(n+1) = r*cos(k*t) , y(n+1) = r*sin(k*t)
• t variant de -pi à + pi , pas selon les cas de figures..

on peut obtenir de belles courbes , tout l' "art" étant de trouver des valeurs judicieuses de k et de pas ...
 
 

ci-dessous quelques exemples de courbes obtenues .
 
 
 
 

bosin(3t)   dans le cas présent :  r = sin(3*t) k = 3

bo(t)  variations : r = t k = 1.5
bo(t) variations suite : r = t k = 1.2

r = cos(3t) k = 3

poisson                         r = cos(2*t))^0.5 k = 6
bélier                       r = cos(3t) k = 5