Le principe de la " tartine beurrée " ou le principe de " l’enquiquinement " maximal (loi de Murphy)

Enoncé :

Lorsqu’une tartine beurrée, distraitement posée en équilibre instable au bord d’une table, tombe sur le sol, elle atterrit le plus souvent sur le côté beurré ! Cette constatation expérimentale a conduit les physiciens à énoncer le principe " de la tartine beurrée " qui stipule finalement que rien ne se passe sans ennuis, d’où encore le nom de principe de " l’enquiquinement maximal " donné à ce principe.

Afin de tenter d’expliquer ce principe, on modélise la tartine par un parallélépipède de longueur 2a, de largeur b, d’épaisseur négligeable et de masse m uniformément répartie. La tartine est placée au bord d’une table de hauteur h >> a. Le mouvement est décrit dans le repère R(O,x,y,z) direct et supposé galiléen : O est sur le bord de la table, l’axe (Ox) est horizontal dirigé vers l’extérieur de la table, l’axe (Oy) est porté par le rebord de la table et l’axe (Oz), vertical, est dirigé vers le bas. Les petits côtés de la tartine sont parallèles à (Oy).

A l’instant initial, la tartine est horizontale et sa vitesse nulle. Les coordonnées de son centre d’inertie G sont (d,0,0). La tartine amorce une rotation sans glissement autour de l’arête (Oy) du bord de la table. A l’instant t, la tartine est repérée par l’angle q (voir figure, ). La vitesse angulaire est notée w. Le moment d’inertie de la tartine par rapport à l’axe (Gy), parallèle à (Oy) et passant par G vaut JGy = ma 2 / 3.

Ø  1. En admettant que la tartine constitue un système conservatif, montrer que, lors de la rotation autour de l’arête de la table :

(avec et , coefficient de surplomb)

Ø  2. La tartine quitte la table à un instant pris comme origine des temps, l’angle q vaut alors p / 2 et la vitesse angulaire initiale w0. Quelle est la loi d’évolution ultérieure de l’angle q (on suppose que le mouvement de G reste plan et qu’il n’y a pas de contact ultérieur avec la table), en négligeant les frottements dus à l’air ?

Ø  3. Dans les circonstances courantes, le coefficient de surplomb h ne dépasse guère 0,02. On pourra donc supposer, dans la suite, que h  << 1 (soit d << a). Exprimer alors la durée de chute t de la tartine en fonction de h et g. Calculer t pour h = 75 cm et g = 9,8 m.s -  2. Quelle est la chance de rattraper la tartine avant qu’elle n’atteigne le sol ?

Ø  4. Déterminer l’angle q1 dont a tourné la tartine lorsqu’elle heurte le sol. Faire l’application numérique avec h  = 0,02 et a = 5 cm. Conclusion.

Ø  5. Pour quelle hauteur de table H la tartine ne tombe-t-elle plus sur le côté beurré ? Quelle serait la taille du géant qui utiliserait cette table ? 

Ø  6. Les hypothèses de conservation de l’énergie mécanique et de rotation complète sans glissement jusqu’à q = p / 2 de la tartine beurrée peuvent certainement être remises en question. La possibilité de voir atterrir la tartine du côté non beurré s’en trouve-t-elle augmentée ou diminuée ?

 

Solution :

Ø  1. Le moment d’inertie de la tartine par rapport à l’axe (Oy) est, d’après le théorème de Huygens, . L’énergie cinétique est alors :

soit

L’énergie potentielle de la tartine vaut :

soit

A l’instant initial, . La conservation de l’énergie mécanique de la tartine (considérée ici comme étant un système conservatif) lors de la rotation autour de l’arête de la table donne :

D’où l’expression donnée dans l’énoncé :

(avec et )

Ø  2. Soit le moment cinétique barycentrique de la tartine beurrée. Le théorème du moment cinétique appliqué dans le référentiel barycentrique donne, puisque la tartine n’est soumise qu’à son poids de moment nul par rapport à G :

soit

La règle du " tire-bouchon " permet d’écrire le vecteur vitesse angulaire sous la forme (où désigne le vecteur unitaire de l’axe (Oy)). Alors :

On en déduit finalement que (avec choisie ici positive !) : la vitesse angulaire de la tartine est constante. La loi d’évolution de l’angle q en fonction du temps lors de la chute de la tartine s’en déduit : .

Ø  3. Le théorème du centre d’inertie appliqué à la tartine donne , soit  ; pour , et . Par conséquent, en projection sur l’axe (Oz), . En considérant a << h, la tartine touche le sol pour , c’est-à-dire à l’instant t tel que :

L’application numérique donne t = 0,39 s : la probabilité de rattraper la tartine avant qu’elle ne touche le sol semble bien faible !

Ø  4. Lorsque la tartine touche le sol, l’angle vaut. Numériquement, avec w0 = 4,85 rad.s - 1, q1 = 3,46 rad = 200° : la tartine atterrit du côté beurré !

Ø  5. Pour que la tartine n’atterrisse plus du côté beurré, il faut que  ; par conséquent, le temps de chute minimal T doit vérifier , soit . Avec , la hauteur de table correspondante sera donnée par .

Numériquement,  : on peut estimer la taille du géant utilisant cette table à environ 4,5 m.

Ø  6. Si le glissement sur le bord de la table en présence de frottements apparaît pour un angle , la vitesse angulaire de la tartine sera alors moins élevée que celle calculée à la question (4). De plus, le centre d’inertie G possédant alors une vitesse initiale le long de (Oz), le temps de chute sera certainement moindre : la tartine atterrira toujours du côté beurré et la hauteur de la table du géant de la question précédente devra être encore plus grande !