Le ruban de Möbius
"L'étonnement est le sel de la terre." M.C.Escher

Imaginez une surface où les deux faces n'en font qu'une... vous arrivez de l'autre côté sans jamais changer de face. C'est le ruban de Möbius. Prenez une longue bande de papier mince et reliez les extrémités après avoir fait un demi-tour avec l'une des extrémités comme indiqué ci-contre. Vous avez un ruban de Möbius, du nom d'August Möbius qui en publia une construction en 1865.

Suivez la mouche... le ruban n'a qu'un seul bord.

Si d'un point quelconque on trace une ligne dans une direction ne coupant pas le bord on se retrouve à mi-chemin au point de départ mais de l'autre côté du papier. Continuons, après un autre tour alors on se retrouve au point de départ et du même côté.

Suivez la mouche... le ruban n'a qu'une seule face.

Comme il n'a qu'une face, un tapis roulant qui aurait subi un demi-tour, comme celui breveté par la société Goodrich Tyre Company, s'usera régulièrement des deux côtés.
Plusieurs marques d'imprimante matricielle utilisaient des cassettes avec un ruban de Möbius. Le ruban était donc encré des 'deux' côtés. Le pli du ruban était commandé par une languette de plastique située juste avant sa sortie.
Certaines personnes assez ingénieuses réencraient donc ce ruban jusqu'à une dizaine de fois, avec une encre de qualité, de bons gants et surtout une bonne dose de savoir faire !
Beaucoup d'usagers ignoraient évidemment que leur cassette contenait un ruban de Möbius.

On peut tendre une bande cylindrique entre deux rouleaux. Pour le ruban de Möbius il en faut trois.

Maintenant si l'on découpe ce ruban le long de sa ligne médiane, on n'obtient pas deux morceaux mais un seul formant quatre demi-tours comme si les extrémités de la bande avaient subi deux tours complets avant d'être assemblées.
Les bords forment maintenant deux courbes distinctes, reliées l'une à l'autre, mais chacune sans aucun nœud.

Suivez la mouche... il n'y a qu'un seul ruban.

Et maintenant coupez la bande de Möbius au tiers de sa largeur et observez...

Le vase de Klein est une surface fermée à une seule face; elle n'admet ni intérieur, ni extérieur et n'est pas orientable. De façon très imagée, on obtient cette surface en allongeant le col d'une bouteille et en le raccordant par l'intérieur avec le fond après lui avoir fait traverser la bouteille. (Dictionnaire des mathématiques de A.Bouvier.M.Georges et F.Le Lionnais.)